\(1.3.15.\) По внутренней поверхности гладкого вертикального цилиндра радиуса $R$ под углом $\alpha$ к вертикали пускают шарик. Какую начальную скорость ему надо сообщить, чтобы он вернулся в исходную точку?
Разобьем движение на вертикальное и в плоскости поперечного сечения цилиндра
$x = vt \sin \alpha$
$$y = vt \cos \alpha - \frac{gt^2}{2}$$
Учитываем, что перемещение по $Ox$ равно длине окружности, а по $Oy$ — 0:
$$vt \cos \alpha - \frac{gt^2}{2} = 0$$
$vt \sin \alpha = 2\pi n R,\,n\in \mathbb{N}$
Время $t$ найдем как
$$t = \frac{2\pi n R}{v \sin \alpha}$$
$$2v \cos \alpha = g\frac{2\pi n R}{v \sin \alpha}$$
Отсюда выражаем $v$:
$\fbox{$v=\sqrt{2\pi Rgn/\sin2\alpha}$}$
$v=\sqrt{2\pi Rgn/\sin2\alpha}$, где $n$ — любое натуральное число; при $\alpha = 0$ скорость может быть любой по модулю.