$1.3.19^*$. Какую минимальную скорость должен иметь камень, брошенный мальчиком, чтобы он перелетел дом высоты $H$ и длины $L$, если бросок совершается с высоты $h$ и для броска мальчик может выбрать любое место?
Оптимальная траектория, соответствующая минимально возможной скорости броска, должна почти касаться краев дома. Минимум скорости камня в точке бросания соответствует минимальной кинетической энергии камня в точке касания с краем дома.
Таким образом, задача сводится к определению минимальной скорости камня в верхней угловой точке дома, достаточно для того, чтобы преодолеть расстояние, равное длине дома $L$ — камень должен в этом месте иметь скорость, направленную под углом $45^{ \circ}$ к горизонту. Скорость камня в этой точке определяется известным соотношением:
$$L = \frac{v^{2} \sin 2\alpha }{g}$$
С учетом выбранного угла получим
$$v^{2} = gL$$
Скорость в точке броска $u$ найдется из закона сохранения энергии:
$$\frac{mu^{2} }{2} + mgh = \frac{mv^{2} }{2} + mgH $$
$u=\sqrt{g(2(H-h)+L)}$