$1.3.30^∗.$ Снаряд вылетает из пушки со скоростью $v$ под углом $\alpha$ к горизонту. Какое время снаряд приближается к пушке?
Используя результат, полученный в 1.3.6, в некий момент времени $t$ можно записать следующие уравнения для скорости точки:
$v_x = v \cos \alpha$
$v_y = v \sin \alpha - gt$
Уравнение перемещения точки по осям будет иметь вид:
$x = vt \cos \alpha$
$$y = vt \sin \alpha - \frac{gt^2}{2}$$
В любой точке $M$ квадрат расстояния $r^2$ от начала координат до этой точки может быть найден по теореме Пифагора. Мы ищем квадрат, чтобы не заморачиваться извлечением квадратного корня, поскольку сама величина $r$ нам не нужна:
$L_M = r_M^2 = x_M^2 + y_M^2 $
$$L_M = (vt \cos \alpha)^2 + \left(vt \sin \alpha - \frac{gt^2}{2}\right)^2$$
Чтобы определить область убывания функции $L(t)$, нужно найти значения $t$, при которых производная $L'(t)$ будет отрицательной. Упростим $L(t)$, раскрыв скобки и используя основное тригонометрическое тождество, а затем найдем производную:
$$L(t) = t^2v^2 - vt^3g\sin \alpha + \frac{1}{4}g^2t^4$$ $$\frac{dL}{dt} = 2tv^2 - 3vt^2g\sin \alpha + g^2t^3 $$ $$\frac{dL}{dt} = t(2v^2 - 3vtg\sin \alpha + g^2t^2)$$
Осталось решить неравенство:
$2v^2 - 3vtg\sin \alpha + g^2t^2 < 0$
Сначала определим точки, где левая часть обращается в ноль, а потом найдем необходимые интервалы. Получается квадратное уравнение относительно $t$; его решение тривиально и приводить я его не буду. Получаем два корня, которые можно записать одним выражением:
$$t \in \left[t_1;\min\left(t_2, \frac{2v\sin \alpha}{g}\right)\right],$$ $$t_1 = \frac{v}{2g}\left(3\sin \alpha - \sqrt{1 - 9\cos^2 \alpha}\right),$$ $$t_2 = \frac{v}{2g}\left(3\sin \alpha + \sqrt{1 - 9\cos^2 \alpha}\right),$$ $$\alpha \in [70.53^\circ; 90^\circ]$$
Если интересует длительность промежутка времени, в который приближение происходит, она равна:
$$\min\left(t_2, \frac{2v\sin \alpha}{g}\right) - t_1$$
Если минимум равен $t_2$, получаем решение:
$$\frac{v}{g} \cdot \sqrt{1 - 9\cos^2 \alpha}, \quad \alpha \in [70.53^\circ; 90^\circ]$$
$t=(V/g)\sqrt{9\sin^{2}\alpha-8}\text{ при }\sin\alpha>\sqrt{8/9};$
$ t=0\text{ при }\sin\alpha<\sqrt{8/9}.$