\(1.3.6.\) Из орудия произведен выстрел под углом \(\varphi\) к горизонту. Начальная скорость снаряда \(v\). Поверхность земли горизонтальна. Найдите:
а) горизонтальную и вертикальную проекции скорости как функции времени;
б) зависимость координат \(x\) и \(y\) от времени;
в) уравнение траектории, т. е. зависимость \(y\) от \(x\);
г) время полета, наибольшую высоту и дальность полета снаряда.
а) Т.к. внешняя сила(сила тяготения) действует только в вертикальном направлении, горизонтальная составляющая скорости $v_x$ остается неизменной
$v_x = v \cdot \cos{\varphi}\;(1)$
А вертикальная составляющая зависит как функция от времени
$v_y(t) = v \cdot \sin{\varphi} - gt\;(2)$
б) Исходя из полученных выражений для скорости $(1)$ и $(2)$, получаем зависимость горизонатальной и вертикальной координаты от времени, соответственно:
$$y(t) = vt \cdot \sin{\varphi} - \frac{gt^2}{2}\;(3)$$
$x(t) = vt \cdot \cos{\varphi}\;(4)$
в) Из $(4)$ выражаем $t$:
$$t = \frac{x}{v \cdot \cos{\varphi}} \;(5)$$
И подставляем в $(3)$
$$y(x) = x \tan \varphi-\frac{gx^2}{2v^2\cos^2\varphi}\;(6)$$
г) Максимальная высота достигается тогда, когда скорость будет направлена горизонтально($v_y = 0$):
$$t_0 = \frac{v\sin\varphi}{g}\;(7)$$
Подставляя $(7)$ в $(3)$:
$$H = \frac{v^2}{2g}\operatorname{sin}^2\varphi\;(8)$$
Из симметрии параболы, время через к-ое тело снова окажется на земле$(y = 0)$, найдем как:
$$T = 2t_0 = \frac{2v\sin\varphi}{g}\;(9)$$
Подставляя $(9)$ в $(4)$:
$$L=\frac{v^2}{g}\operatorname{sin}2\varphi\;(10)$$
$a) \;v_x= v\cos\varphi, v_y = v\sin\varphi-gt$
$б)\; x = (v\cos\varphi)t, y = (v\sin{\varphi})t - gt^2/2$
$в) \;y = x \tan \varphi-\frac{gx^2}{2v^2\cos^2\varphi} =x\operatorname{tg}\varphi-\frac{gx^2}{2v^2}(\operatorname{tg}^2\varphi+1)$
$г) \;T=\frac{2v}{g}\operatorname{sin}\varphi, H=\frac{v^2}{2g}\operatorname{sin}^2\varphi, L=\frac{v^2}{g}\operatorname{sin}2\varphi$