\(1.3.9.\) С какой скоростью должен в момент старта ракеты вылететь снаряд из пушки, чтобы поразить ракету, стартующую вертикально с ускорением \(a\)? Расстояние от пушки до места старта ракеты равно \(L\), пушка стреляет под углом \(45^{\circ}\) к горизонту падения на Земле?
Воспользуемся формулой для координат $x$ и $y$, полученной в 1.3.6:
$$y(t) = \frac{1}{\sqrt{2}}vt - \frac{gt^2}{2}$$
$$x(t) = \frac{1}{\sqrt{2}}vt$$
При этом уравнение, описывающие движение ракеты:
$$y(t) = \frac{at^2}{2}$$
Записываем условие встречи:
$$\frac{1}{\sqrt{2}}vt - \frac{gt^2}{2} = \frac{at^2}{2}\;(1)$$
$$\frac{1}{\sqrt{2}}vt = L$$
Откуда, момент встречи:
$$t = \frac{\sqrt{2}L}{v}$$
$$L=\frac{v\sqrt{2}}{g}$$
Подставляем в $(1)$:
$$\frac{v\sqrt{2}}{g} = \frac{(a+g)v^2}{g}$$
Получаем искомую скорость:
$\fbox{$ v=\sqrt{L(a+g)} $}$