$1.4.18^*.$ Мальчик, который может плавать со скоростью, в два раза меньшейскорости течения реки, хочет переплыть эту реку так, чтобы его как можно меньше снесло вниз по течению. Под каким углом к берегу он должен плыть? На какое расстояние его снесет, если ширина реки $H = 200$ м?
Рассмотрим движения мальчика со скоростью $\vec{v}$, когда его сносит река с течением $\vec{u}$
Распишем в проекциях на горизонтальную и вертикальные оси, учитывая, что $u = 2v$
$v_x = 2v - v \cos \alpha$
$v_y = v \sin \alpha$
Найдем время за которое мальчик переплывет реку
$$t = \frac{H}{v_y} = \frac{H}{v \sin \alpha}$$
За время $t$ его снесет вдоль берега на величину
$$L = v_xt = H\frac{2 - \cos \alpha}{\sin \alpha}\;(1)$$
Для того чтобы найти минимум $L$ необходимо найти экстремум функции $f(\alpha) = \frac{2 - \cos \alpha}{\sin \alpha}$ на интервале $\alpha \in (0,\pi)$
Найдем $\alpha$, при котором производная равна $0$
$$\frac{df}{d \alpha} = \frac{\sin ^2 \alpha - \cos \alpha(2-\cos \alpha)}{\sin ^2 \alpha}=0$$
$1-2 \cos \alpha=0$
$\fbox{$\alpha = \pi/3$}$
Подставляем в $(1)$ и находим расстояние на которое его снесет
$\fbox{$L = H\sqrt{3}$}$
$\alpha = 60^{\circ}$
$l = 200 \sqrt{3} ≈ 345$ м