$1.4.9.$ Тело налетает на стенку со скоростью $v$ пол углом $\alpha$ к линии, перпендикулярной стенке. Определите скорость тела после упругого удара, если стенка:
а) неподвижна;
б) движется перпендикулярно самой себе со скоростью $w$ навстречу телу;
в) движется под углом $\beta$ к линии, перпендикулярной ей самой, со скоростью $w$ навстречу телу
$а)$ Т.к. соударение упругое, то по Закону Сохранения Импульса:
$v \sin \alpha = u \sin \alpha $
$\fbox{$v = u $}$
$б)$ Далее эта задача немного напоминает 1.4.8.
В системе отсчета связанной со стенкой относительная скорость шарика $\vec{v_{отн}} = \vec{v} - \vec{w}$. При упругом отражении, переходя в СО земли скорость равняется $\vec{u} = \vec{v} - 2\vec{w}$.
Ниже наглядно продемонстрирована работа с векторными величинами
Найдем проекции вектора $\vec{u}$ на горизонтальную и вертикальные оси:
$u_y = v \sin \alpha $
$u_x = v \cos \alpha + 2w$
Воспользовывшись т. Пифагора, найдем модуль вектора $\vec{u}$
$u = \sqrt{u_x^2+u_y^2}$
$u = \sqrt{(v \sin \alpha)^2 + (v \cos \alpha + 2w)^2}$
$\fbox{$u=\sqrt{v^{2}+4vw\cos\alpha+4w^{2}}$}$
$в)$ Аналогично предыдущему подпункту
$\vec{u} = \vec{v} - 2\vec{w}$
Покажем эти вектора на рисунке
Найдем проекции вектора $\vec{u}$ на горизонтальную и вертикальные оси:
$u_y = v \sin \alpha - 2w \sin \beta$
$u_x = v \cos \alpha + 2w \cos \beta$
Воспользовывшись т. Пифагора, найдем модуль вектора $\vec{u}$
$u = \sqrt{u_x^2+u_y^2}$
$u = \sqrt{(v \sin \alpha - 2w \sin \beta)^2 + (v \cos \alpha + 2w \cos \beta)^2}$
$\fbox{$u=\sqrt{v^{2}+4vw\cos\alpha\cos\beta+4w^{2}\cos^{2}\beta}$}$
$\text{a) } u=v.\quad\text{б) } u=\sqrt{v^{2}+4vw\cos\alpha+4w^{2}}.\quad\text{в) } u=\sqrt{v^{2}+4vw\cos\alpha\cos\beta+4w^{2}\cos^{2}\beta}.$