$2.1.22.$ Через какое время скорость тела, которому сообщили вверх по наклонной плоскости скорость $v$, снова будет равна $v$? Коэффициент трения $\mu$, угол между плоскостью и горизонтом $\alpha$, $\tan \alpha > \mu$
Тело на наклонной плоскости находится под действием трёх сил: силы тяжести $\vec{F}_{1} = m \vec{g}$, силы трения $\vec{F}_{2} = - \mu mg$ и нормальной реакции связи $\vec{N}$, однако, при дальнейшем рассмотрении движения нормальную реакцию можно не рассматривать, т.к. её проекция на горизонтальную ось, вдоль которой движется тело, равна нулю.
Уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось ОХ при движении тела вверх в векторной форме запишется следующим образом $$\vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} = m \vec{a}$$ Определим проекции действующих сил на ось ОХ и запишем уравнение второго закона Ньютона $$F_{1x} = mg \sin \alpha, F_{2x} = \mu mg \cos \alpha$$ $$\mu mg \cos \alpha + mg \sin \alpha = ma$$ Поделим обе части последнего уравнения на массу $m$ и выразим величину ускорения $$a = g( \sin \alpha + \mu \cos \alpha )$$ Время движения тела вверх $t_1$ определится из условия равенства нулю скорости в конце подъёма $$0 = v_{0} - at \Rightarrow t_{1} = \frac{v_{0} }{a} = \frac{v_{0} }{g ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha ) }$$ Движению тела вниз соответствует уравнение $$mg \sin \alpha - \mu mg \cos \alpha = ma$$ $$a = g( \sin \alpha - \mu \cos \alpha )$$ Скорость станет равной $v_0$ только в конце спуска, потому как закона сохранения энергии никто не отменял, поэтому $$\frac{dv}{dt} = g( \sin \alpha + \mu \cos \alpha )$$ $$\int_{0}^{v_{0} } dv = g( \sin \alpha + \mu \cos \alpha ) = \int_{0}^{t_{2} } dt$$ $$t_{2} = \frac{v_{0} }{g ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha ) }$$ Искомое время определится в виде суммы $t = t_{1} + t_{2}$ $$\boxed{t = \frac{2v_{0} \sin \alpha }{g( \sin^{2} \alpha - \mu^{2} \cos^{2} \alpha )}}$$
$$t = \frac{2v_{0} \sin \alpha }{g( \sin^{2} \alpha - \mu^{2} \cos^{2} \alpha )}$$