$2.1.37.$ Сила сопротивления воздуха, действующая на капли дождя, пропорциональна произведению квадрата скорости капель на квадрат их радиуса: $f = Aρ_0r^2v^2$, где $ρ_0 ≈ 1.3 \,кг/м^3$ — плотность воздуха, а безразмерный коэффициент $A$ для круглых капель порядка $1$.
Какие капли, крупные или мелкие, падают на землю с большей скоростью?
Оцените скорость капли радиуса $r = 1 \,мм$ при падении ее с большой высоты.
На падающую каплю действуют две силы: постоянная сила тяжести, ускоряющая движение капли, и сила сопротивления воздуха, замедляющая ее движение и растущая с ростом скорости капли. Сила сопротивления воздуха растет до тех пор, пока она не стапет равной силе тяжести. Дальше прекращается изменение скорости, и падение капель происходит с постоянной скоростью.
Запишем уравнение через длительный промежуток времени: $$mg=Aρ_0r^2v^2\;(1)$$ Найдем $m$ через объем $V$: $$m=ρV=\frac{4}{3} ρ \pi r^3$$ И подставим в $(1)$: $$\frac{4}{3} ρ \pi r^3 g=Aρ_0r^2v^2$$ Отсюда: $$\boxed{v = \sqrt{\frac{4}{3} ρ \pi r g \cdot \frac{1}{Aρ_0}}≈5.5\,\frac{м}{с}\;(2)}$$ Из $(2)$, чем больше $r$, тем больше $v$. Значит, крупные капли падают на землю с большей скоростью
Крупные; $v ≈ 5.5 \,м/с$