$2.1.38.$ Сила сопротивления воздуха, действующая на капли тумана, пропорциональна произведению радиуса на скорость: $f = γrv$. Капли радиуса $r = 0.1 \,мм$, падая с большой высоты, у земли имеют скорость около $1 \,м/с$. Какую скорость будут иметь капли, радиус которых в два раза меньше? в десять раз меньше?
Какие капли, крупные или мелкие, падают на землю с большей скоростью?
Оцените скорость капли радиуса $r = 1 \,мм$ при падении ее с большой высоты.
На падающую каплю действуют две силы: постоянная сила тяжести, ускоряющая движение капли, и сила сопротивления воздуха, замедляющая ее движение и растущая с ростом скорости капли. Сила сопротивления воздуха растет до тех пор, пока она не стапет равной силе тяжести. Дальше прекращается изменение скорости, и падение капель происходит с постоянной скоростью.
Запишем уравнение через длительный промежуток времени: $$mg=γrv\;(1)$$ Найдем $m$ через объем $V$: $$m=ρV=\frac{4}{3} ρ \pi r^3$$ И подставим в $(1)$: $$\frac{4}{3} ρ \pi r^3 g=γrv$$ Отсюда: $$v = \frac{4}{3} \frac{ρ \pi g}{γ} \cdot r^2 =\alpha r^2\;(2)$$ $$\alpha = \frac{4}{3} \frac{ρ \pi g}{γ} =\frac{v}{r^2}=10^8 \,\frac{1}{м \cdot с}$$ Подставлем и находим ответ $$v(\frac{r}{2}) = \alpha \frac{r^2}{4}=0.25\, м/с$$ $$v(\frac{r}{10}) = \alpha \frac{r^2}{100}=0.01\, м/с$$
$$v_1 ≈ 0.25 \,м/с;$$ $$v_2 ≈ 0.01 \,м/с$$