$2.1.50.$ На гладкой горизонтальной плоскости находится клин с углом $α$ при основании. Тело массы $m$, положенное на клин, опускается с ускорением, направленным под углом $β > α$ к горизонтали. Определите массу клина.
Разобьём ускорение бруска $\vec{a}_2$ на нормальную $\vec{a}_n$ и тангенциальную $\vec{a}_\tau$ компоненты
Из рисунка: $$a_n=a_2 \cdot sin\,\beta$$ $$a_\tau=a_2 \cdot cos\,\beta$$ $$a_n=a_\tau \cdot tg\,\beta\;(0)$$ Рассмотрим малое изменение координаты клина и бруска на нем за маленький промежуток $dt$: Клин сдвинулся на $dx_1$ Между тем, брусок в системе отсчета связанной с клином, по оси $OX$ брусок сдвинулся на $dx$, а по $OY$ — $dy$
Относительно начальной точки, в СО Наблюдателя, брусок сдвинулся на $$OX: \;dx=dx_0+dx_1$$ $$OY: \;dy=dy_0$$ Т.к. брусок не отрывается, $$dy=dx \cdot tg\,\alpha\;(a)$$ Продеффиринцируем дважды обе части выражения $(a)$: $$\frac{dy}{d^2t} = \frac{dx}{d^2t} \cdot tg\,\alpha$$ $$a_n = (a_\tau+a_1) \cdot tg\,\alpha\;(1)!$$ Запишем второй закон Ньютона для бруска на оси: $$OX: \;ma_\tau=N\,sin\,\alpha\;(2)$$ $$OY: \;ma_n=mg-N\,cos\,\alpha\;(3)$$ По третьему закону Ньютона Сила давления $\vec{N}{}'$ оказаная бруском на клин равна по модулю и проивоположна по направлению силе нормальной реакции опоры $\vec{N}$: $$\vec{N}{}'=-\vec{N}$$ Второй закон Ньютона для клина на оси $OX$: $$Ma_1=N\,sin\,\alpha\;(4)$$ Составим и решим систему уравнений $(0)$, $(1)$, $(2)$, $(3)$ и $(4)$ относительно $M$: $$\left\{\begin{matrix} a_n=a_\tau \cdot tg\,\beta & \\ a_n = (a_\tau+a_1) \cdot tg\,\beta & \\ ma_\tau=N\,sin\,\alpha & \\ ma_n=mg-N\,cos\,\alpha & \\ Ma_1=N\,sin\,\alpha & \end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix} a_\tau \cdot tg\,\beta = (a_\tau+a_1) \cdot tg\,\alpha & \\ ma_\tau=N\,sin\,\alpha & \\ ma_n=mg-N\,cos\,\alpha & \\ Ma_1=N\,sin\,\alpha & \end{matrix}\right.$$ $$M=ma_\tau \cdot \frac{1}{a_1}$$ $$a_\tau(tg\,\beta-tg\,\alpha) = a_1\,tg\,\alpha$$ $$\frac{a_\tau}{a_1} = \frac{tg\,\alpha}{tg\,\beta-tg\,\alpha}$$ $$M=m \frac{a_\tau}{a_1}$$ $$\boxed{M=m \frac{tg\,\alpha}{tg\,\beta-tg\,\alpha}}$$
$$M= m \frac{tg\,\alpha}{tg\,\beta-tg\,\alpha}$$