$\leftarrow$Назад

Условие:

$2.1.51.$ На два катка разного радиуса положили тяжелую плиту. Она образует угол $α$ с горизонтом. Найдите ускорение этой плиты. Проскальзывания нет. Массой катков пренебречь.

Решение:

Движение плиты сложное, состоит из горизонтального (за счет движения катков) и под углом к горизонту, и является поступательным. Расставим силы.

Векторы синим цветом - это силы, действующие на каток ($N_1$ - сила со стороны плиты на каток она равна и противоположно направлена силе со стороны катка на плиту, $F_{тр}$ - сила трения, действующая на каток (под ее действием происходит вращение катка), и сила реакции опоры $R$ в точке $P$).

Аналогичные силы действуют на каток меньшего радиуса. Векторы красного цвета обозначают силы, действующие на плиту ($N$ - суммарная сила реакций опор, $mg$ - сила тяжести, $F_{тр}$ - сила трения со стороны катков на плиту).

Выберем ось $Ox$ по направлению скорости движения плиты. Сама же скорость это мгновенная скорость точки касания плиты и катка, а точка $P$ - мгновенный центр скоростей, причем $v$ перпендикулярна $PC$ (мгновенный радиус вращения). Запишем в проекциях на ось $Ox$ уравнение движения плиты

Запишем уравнение вращательного движения для катка. Это уравнение имеет вид $$I \varepsilon = \Sigma M$$ произведение момента инерции тела на угловое ускорение равно сумме моментов сил, действующих на тело. Найдем плечи сил, действующих на каток $PC$ $$2r \cos \frac{\alpha}{2}$$ Плечо силы трения равно $$2r \cos^2 \frac{\alpha}{2}$$ а плечо силы $N$ равно $$2r\cos \frac{\alpha}{2} \cdot \sin \alpha/2$$ Плечо силы $R$ равно нулю.

Запишем уравнение вращательного движения для катка (т.к. масса катка по условию задачи равна нулю, то и $I = 0$): $$0 = - F_{тр} 2r \cos ^2 \frac{\alpha}{2} + N r \sin \alpha \; (2)$$ Откуда $$F_{тр}= N \tan \frac{\alpha}{2}$$ подставляя это значение в уравнение движения $(1)$, получим $$ma = mg \sin \frac{\alpha}{2}$$ т.е. искомое ускорение равно $$\boxed{a = g \sin \alpha/2}$$

Ответ:

$$a = g \sin(α/2)$$

Альтернативное решение: