$2.1.57.$ На гладкое проволочное кольцо радиуса $R$, расположенное вертикально, надета маленькая бусинка. Кольцо вращается с угловой скоростью $ω$ вокруг вертикальной оси, проходящей по диаметру кольца. Где находится бусинка?
Проецируя силу натяжения нити $T$, записываем второй закон Ньютона на вертикальную и горизонтальную оси: $$T \sin \alpha = ma_{ц}$$ $$mg - T \cos \alpha = 0$$ Отсюда $$mg \tan \alpha = ma_{ц}\;(1)$$ Найдем центростремительное ускорение через угловую скорость вращения $\omega$ $$a_{ц} = \omega ^2 r = \omega ^2 R \sin \alpha$$ Подставляем в $(1)$ $$g = \omega ^2 R \cos \alpha$$ Откуда находим $\alpha$ $$\boxed{\cos α = \frac{g}{ω^2 R}}$$ Учитывая область определения косинуса $$-1 \leq \cos \alpha \leq 1$$ При $g > ω^2 R$, угловой скорости уже не будет хватать, чтобы поднять тело на какой-то угол и тело займет устойчивое положение в низшей точке своей траектории, соответствующей $$\boxed{\alpha = 0}$$
$\cos α = g/(ω^2 R)$ при $g/(ω^2 R) < 1;$
$α = 0$ при $g/(ω^2 R) > 1$