$2.1.58.$ К тяжелому шарику, подвешенному на нити длины $l$, подвешен второй тяжелый шарик на нити той же длины. При вращении шариков вокруг вертикальной оси, проходящей через верхнюю точку подвеса, обе нити лежат в одной плоскости и составляют с вертикалью постоянные углы $α$ и $β$. Найдите угловую скорость вращения шариков.
Проецируя силу натяжения нити $T$ для нижнего шарика, записываем второй закон Ньютона на вертикальную и горизонтальную оси: $$T \sin \beta = ma_{ц}$$ $$mg - T \cos \beta = 0$$ Отсюда $$mg \tan \alpha = ma_{ц}\;(1)$$ Найдем центростремительное ускорение через угловую скорость вращения $\omega$ $$a_{ц} = \omega ^2 r = \omega ^2 (l_1+l_2)$$ $$a_{ц} = \omega ^2 l(\sin \alpha + \sin \beta)$$ Подставляем в $(1)$ $$g \tan \alpha = \omega ^2 l(\sin \alpha + \sin \beta)$$ Откуда находим $\omega$ $$\boxed{ω = \sqrt{ \frac{g \, tg β} {l(sin β + sin α)} }}$$
$$ω = \sqrt{ \frac{g \, tg β} {l(sin β + sin α)} }$$