$2.1.59.$ Груз массы $m$, прикрепленный пружиной жесткости $k$ к оси, движется вокруг этой оси по окружности радиуса $R$ с угловой скоростью $ω$. Какова длина недеформированной пружины?
Записываем второй закон Ньютона для груза, учитывая силу упругости пружины $F_{упр}$ $$ma_{ц} = F_{упр} = k \Delta x$$ Выразим $\Delta x$ через длину недеформированной пружины $l$ $$ma_{ц} = F_{упр} = k (R-l)\;(1)$$ Найдем центростремительное ускорение через угловую скорость вращения $\omega$ $$a_{ц} = \omega ^2 R$$ $$a_{ц} = \omega ^2 (l+\Delta x)$$ Подставим в $(1)$ $$\frac{k}{m} (R-l) = \omega ^2 R$$ Откуда находим $l$ $$\boxed{l=R(1-\frac{m ω^2}{k})}$$
$$l=(1-m ω^2 /k)R$$