Решение задач из Савченко О.Я.

Aliaksandr Melnichenka
October 2023

Условие:

$2.2.3.$ Космический корабль должен, изменив курс, двигаться с прежним по модулю импульсом $р$ под углом $\alpha$ к первоначальному направлению. На какое наименьшее время нужно включить двигатель с силой тяги $F$ и как при этом нужно ориентировать ось двигателя?

Решение:

При включении двигателя с силой тяги $F$ на время $\Delta t$, импульс корабля будет равен

$\vec{p_1} = \vec{p} + \vec{\Delta p}$, (1)

где $\vec{\Delta p} = \vec{F} \cdot \Delta t$. (2)

Выберем направление оси $x$ и спроецируем уравнение (2)

$\Delta p = F \cdot \Delta t$. (3)

С другой стороны, из уравнения (1) в проекции на ось $x$

$\Delta p =2p \cdot sin\frac{\alpha}{2}$ (рис.). (4)

Приравняем правые части уравнений (3) и (4)

$F \cdot \Delta t = 2p \cdot sin\frac{\alpha}{2}$.

Откуда искомое время включения двигателя $$\Delta t = \frac{2p \cdot sin\frac{\alpha}{2}}{F}$$

Ось двигателя нужно ориентировать к первоначальному направлению под углом

$$\beta = \frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2}$ $

Альтернативное решение:

Нужно добавить импульс

$$p_2\sqrt{2+2\cos(\alpha)} = 2p\sin(\frac{\alpha}{2})$$

Тогда время
$$\Delta t = \frac{p_2}{F}=\frac{2p}{F}\sin(\frac{\alpha}{2})$$

Угол между начальной скоростью и силой $F$ будет равен углу р/б треугольника с углом при вершине:

$$\frac{1}{2}(\pi - \alpha)$$

Двигатель ориентирован в обратном силе направлении, значит

$$\beta = \pi - \frac{1}{2}(\pi - \alpha) = \frac{1}{2}(\pi + \alpha)$$

Ответ:

$$\Delta t = \frac{2p \cdot sin\frac{\alpha}{2}}{F}$$ $$\beta = \frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2}$$