$2.2.5^*.$ Ящик с песком массы $M$ лежит на горизонтальной плоскости, коэффициент трения с которой равен $\mu$. Под углом $α$ к вертикали в ящик со скоростью $v$ влетает пуля массы $m$ и почти мгновенно застревает в песке. Через какое время после попадания пули в ящик, он, начав двигаться, остановится? При каком значении $α$ он вообще не сдвинется?
Пусть время остановки пули равно $dt$, тогда, чтобы остановить, ящик может двигаться только по горизонтали, значит в момент попадания и пули гаситься вертикальная проекция импульса силой реакции опоры (песка) $N_1$, тогда $$N_1dt = mv\cos(\alpha) \Rightarrow N_1 = \frac{mv\cos(\alpha)}{dt}$$ Распишем силу трения в этот момент: $$F_{\text{тр}} \leq \mu N = \mu ((M+m)g + N_1) = \mu (M+m)g + \mu \frac{mv\cos(\alpha)}{dt}$$ Так как $dt$ бесконечно малая величина, то $$N_1 \gg (M+m)g \Rightarrow F_{\text{тр}} \leq \mu \frac{mv\cos(\alpha)}{dt}$$ Теперь запишем изменение импульса ящика с песком за $dt$ $$\Delta p = F_{\text{тр}}dt \leq \mu mv \cos(\alpha)$$ ($F_{\text{тр}}$ и $\Delta p$ не достегают наибольшего значения только в ситуации, когда ящик продолжает покоиться) В момент соударения ящик с пулей приобретают импульс: $$p_1 = mv\sin(\alpha)$$ (горизонтальная проекция импульса пули)
Для того, чтобы сдвинуть ящик, нужно, чтобы $$p_1 > \Delta p$$ $$mv\sin(\alpha) > \mu mv\cos(\alpha)$$ таким образом мы получили условие движения ящика $tg(\alpha) > \mu$. После соударения, во время движения ящика, на него будет действовать сила трения $$F_{\text{тр}}= \mu (M+m)g$$ Эта сила уменьшает полученный ящиком импульс $p_1 - \Delta p$ , тогда справедливо: $$F_{\text{тр}}t = p_1 - \Delta p $$ $$ t = \frac{p_1 - \Delta p}{F_{\text{тр}}}$$ $$ \boxed{t = \frac{mv(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))}{\mu(M+m)g}}$$
$t = mv(sin α − \mu cos α)/[\mu(m + M)g]$ при $\tan α > \mu$
при $\tan α \leq \mu$ ящик не сдвинется