Решение задач из Савченко О.Я.

Рассмотрим геометрию системы:

$BC=AD \cdot (1-cos\,2\alpha)=CD \cdot sin\,\alpha$

$l \cdot (1-cos\,2\alpha)=r \cdot sin\,\alpha$

$1-cos\,2\alpha=2sin^2\,\alpha$

$2l \cdot sin^2\alpha=r \cdot sin\,\alpha$

$sin\,\alpha=\frac{r}{2l}\;(a)$

Из закона сохранения энергии:

$E=E_{кин}+E_{пот}$

$E_{кин}$ будет максимальна при минимальной $E_{пот}$ в точке $C$

$E_{кин}=mgr\,sin\,\alpha$

$\frac{mv_{max}^2}{2}=mgr\,sin\,\alpha$

$\frac{v_{max}^2}{2}=gr\,sin\,\alpha$

$v_{max}=\sqrt{2gr\,sin\,\alpha}$

Подставляем $(a)$:

$v_{max}=\sqrt{2g\,\frac{r^2}{2l}}$

$v_{max}=r\sqrt{\frac{g}{l}}$