Решение задач из Савченко О.Я.

←Назад

Условие:

\(2.3.18^*.\) Веревка привязана к санкам и переброшена через перекладину ворот высоты $h$. Мальчик, сидящий на санках, начинает выбирать веревку, натягивая ее с силой $T$. Какую скорость он приобретет, проезжая под перекладиной? Начальная длина натянутой части веревки $2l$, масса мальчика с санками $m$. Трением пренебречь.

Решение:

На санки действует единственная внешняя сила $2\vec{T}$, направленная под углом $\alpha$ к горизонту

$F_x=2T\,cos\,\alpha$

Из рисунка:

$cos\,\alpha=\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}$

Тогда

$F_x=T\frac{2x}{\sqrt{x^2+h^2}}$

Работа внешней силы равна:

$A=\int_{0}^{x_0}F_xdx$

$A=2T\int_{0}^{x_0}\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}dx\;(a)$

$\int\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}dx=\sqrt{x^2+h^2}+C$

$\int_{0}^{x_0}\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}dx=\sqrt{x_0^2+h^2}-h$

По условию:

$L=\sqrt{x^2+h^2}$

Тогда $(a)$ можно переписать:

$A=2T(L-h)$

Энергия внешней силы перешла в кинетическую энергию санок:

$A=E_{кин}$

$2T(L-h)=\frac{mv^2}{2}$

Отсюда:
$v=\sqrt{\frac{4T(L-h)}{m}}$

Ответ: $v=2\sqrt{\frac{T(L-h)}{m}}$

↑ наверх