Решение задач из Савченко О.Я.

Рассмотрим векторный треугольник импульсов тел

$\vec{p_0} = \vec{p_1} + \vec{p_2}$.

Воспользуемся теоремой косинусов

$p_1^2 + p_2^2 + 2p_1p_2cos\alpha = p_0^2$. (1)

Здесь $p_0$ - модуль начального импульса шара до взаимодействия, $p_1, p_2$ - модули импульсов шаров после соударения, $\alpha$ - угол разлета шаров.

Так как кинетическая энергия равна $E = \frac{mv^2}{2}$, а импульс тела $p = mv$, то $E = \frac{p^2}{2m}$. (2)

Воспользовавшись уравнение связи кинетической энергии и импульса тела (2) запишем закон сохранения кинетической энергии при упругом столкновении шаров:

$\frac{p_0^2}{2m_1} = \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2}$. (3)

По условию задачи $m_1 = m_2 = m$,

тогда уравнение (3) примет вид

$p_0^2 = p_1^2 + p_2^2$. (4)

Решая совместно уравнения (1) и (4) получаем

$2p_1p_2cos\alpha = 0 \Rightarrow cos\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{2}$,

Ответ: угол разлета шаров после нецентрального упругого удара равен $\frac{\pi}{2}$