Решение задач из Савченко О.Я.

Запишем закон сохранения импульса

$km\vec{u} = km\vec{v_2} + m\vec{v_1}$.
В проекции на ось $x$:
$kmu = kmu_2 + mv_1$, или $ku = kv_2 + v_1$. (1)
Для упругого удара выполняется закон сохранения кинетической энергии
$\frac{kmu^2}{2} = \frac{kmv_2^2}{2} + \frac{mv_1^2}{2}$,
или
$ku^2 = kv_2^2 + v_1^2$. (2)
Перепишем уравнения (1) и (2)
$k(u – v_2) = v_1$,
$k(u^2 – v_2^2) = v_1^2$
Разделив левые и правые части уравнений соответственно, получим
$u + v_2 = v_1$. (3)
Сделаем замену найденной скорости $v_1$ в уравнение (1)
$ku = kv_2 + u + v_2$, откуда $v_2 = \frac{u(k - 1)}{k + 1}$. (4)
Если теперь подставить найденную скорость $v_2$ из (4) в уравнение (3), то
$v_1 = \frac{2ku}{k + 1}$. (5)
Найдем отношение скоростей $v_1$ и $v_2$ к $u$
$\frac{v_1}{u} = \frac{2k}{k + 1}$, $\frac{v_2}{u} = \frac{k - 1}{k + 1}$. (*)
Для построения графика зависимости отношения скоростей от $k$, надо в формулы (*) вместо $k$ подставить значения, например $\frac{1}{2}, 1, 2, 3, \infty$.
Тогда графики будут иметь вид, представленный на рисунке.