Условие:
\(3.1.12.\)
а. Небольшое заряженное тело массы $m$ может
скользить по вертикальной спице, в нижней точке которой
закреплен заряд, одноименный с зарядом тела. Положение
равновесия тела находится на расстоянии $R$ от этого заряда. Как зависит сила, действующая на тело, от малого его
смещения $x$ из положения равновесия?
б. Массу тела увеличили втрое, оставив заряды неизменными. На каком теперь расстоянии от нижнего конца спицы находится положение равновесия тела?
Как зависит сила, действующая на тело, от малого его смещения из положения
равновесия?
Решение:
a) $mg=\frac{kq^2}{R^2}$ - в положении равновесия $\Rightarrow kq^2=mgR^2$
$F'=F-mg=\frac{mgR^2}{R^2+2Rx+x^2}-mg$$=\frac{mgR^2-mgR^2-2mgRx-mgx^2}{(R+x)^2}=[x\ll R]$$\approx-\frac{2mgRx}{(R+x)^2}$
Приближения: $(1+x)^\alpha$$\approx1+\alpha x$
$F'=-\frac{2mgRx}{(R+x)^2}$$\approx-2mgRx\frac{1}{R^2}(1-2\frac{x}{R})$$=-\frac{2mgx}{R}-\frac{4mgx^2}{R^2}$$=[x\ll R]$$\approx-\frac{2mgx}{R}$
б) $\left\{\begin{matrix}3mg=\frac{kq^2}{x^2}
\\
\\ mg=\frac{kq^2}{R^2}
\end{matrix}\right.$
Решение системы: $\frac{R}{x}=\sqrt{3}\Rightarrow x=\frac{R}{\sqrt{3}}$
$F''=-\frac{2m'gx}{R'}=[R'=\frac{R}{\sqrt{3}}]=-\frac{6mgx}{R'}$