$3.3.1.$ Тело массы $m$, прикрепленное к пружине, свободно колеблется. Смещение тела зависит от времени по закону $x = A \cos ωt$. Как меняются со временем скорость и ускорение? Как зависит сила, действующая на тело, от его смещения и от времени? Чему равна жесткость пружины?
Координата зависит от времени по закону $$x(t) = A \cos ωt$$ Дифференцируем по времени и получаем зависимость скорости от времени $$\frac{dx}{dt} = A \frac{d}{dt}\cos ωt$$ $$\boxed{v=-A\omega\sin\omega t}$$ Аналогично, дифференцируем скорость, чтобы получить ускорение $$\frac{dv}{dt} = -A\omega\frac{d}{dt}\sin\omega t $$ $$\boxed{a=-A\omega^2\cos\omega t}$$ По второму закону Ньютона, сила действующая на тело определяется как $$F = ma$$ $$\boxed{F=-mA\omega^2\cos\omega t = -m\omega^2x}$$ По закону Гука $$F=-kx$$ Откуда жесткость пружины $$\boxed{k=m\omega^2}$$
$$v=-A\omega\sin\omega t$$ $$a=-A\omega^2\cos\omega t$$ $$F=-m\omega^2x=-Am\omega^2\cos\omega t$$ $$k=m\omega^2$$