Условие:
\(5.2.6.\) Найдите отношение числа молекул водорода, имеющих проекцию скорости на ось $x$ в интервале от $3000$ до $3010 \,м/с$, на ось $y$ — в интервале от $3000$ до $3010 \,м/с$, на ось $z$ — в интервале от $3000$ до $3002 \,м/с$, к числу молекул водорода, имеющих проекцию скорости на ось $x$ в интервале от $1500$ до $1505 \,м/с$, на ось $y$ — в интервале от $1500$ до $1501 \,м/с$, на ось $z$ — в интервале от $1500$ до $1502 \,м/с$. Температура водорода $300 \,K$
Решение:
Расспишем ситуанию для $\Delta N_{1}$
Из распределения Максвелла по модулю скорости имеем
$\Delta N_{x} = 4 \pi \left ( \frac{m_{0}}{2 \pi kT} \right )^{ \frac{3}{2} }e^{ - \frac{m_{0} \langle v_x \rangle^{2} }{2kT} } \langle v_{x} \rangle^{2} \Delta v_{x}$
$\Delta N_{y} = 4 \pi \left ( \frac{m_{0}}{2 \pi kT} \right )^{ \frac{3}{2} }e^{ - \frac{m_{0} \langle v_y \rangle^{2} }{2kT} } \langle v_{y} \rangle^{2} \Delta v_{y}$
$\Delta N_{z} = 4 \pi \left ( \frac{m_{0}}{2 \pi kT} \right )^{ \frac{3}{2} }e^{ - \frac{m_{0} \langle v_z \rangle^{2} }{2kT} } \langle v_{z} \rangle^{2} \Delta v_{z}$
$\Delta N_{1}=\Delta N_{x}+\Delta N_{y}+\Delta N_{z}$
Где $v_{x} = 3005 \,м/с,$ $\Delta v_{y} = 5 \,м/с;$ $v_{y} = 3001 \,м/с,$ $\Delta v_{y} = 1 \,м/с;$ $v_{z} = 1502.5 \,м/с,$ $\Delta v_{z} = 2.5 \,м/с;$
Аналогично делаем для $\Delta N_{2}$
$\Delta N_{2}=\Delta N_{x}+\Delta N_{y}+\Delta N_{z}$
$\Delta N_{x} = 4 \pi \left ( \frac{m_{0}}{2 \pi kT} \right )^{ \frac{3}{2} }e^{ - \frac{m_{0} \langle v_x \rangle^{2} }{2kT} } \langle v_{x} \rangle^{2} \Delta v_{x}$
$\Delta N_{y} = 4 \pi \left ( \frac{m_{0}}{2 \pi kT} \right )^{ \frac{3}{2} }e^{ - \frac{m_{0} \langle v_y \rangle^{2} }{2kT} } \langle v_{y} \rangle^{2} \Delta v_{y}$
$\Delta N_{z} = 4 \pi \left ( \frac{m_{0}}{2 \pi kT} \right )^{ \frac{3}{2} }e^{ - \frac{m_{0} \langle v_z \rangle^{2} }{2kT} } \langle v_{z} \rangle^{2} \Delta v_{z}$
Где $v_{x} = 1502.5 \,м/с,$ $\Delta v_{y} = 2.5 \,м/с;$ $v_{y} = 1500.5 \,м/с,$ $\Delta v_{y} = 0.5 \,м/с;$ $v_{z} = 1501 \,м/с,$ $\Delta v_{z} = 0.5 \,м/с;$
Учитывая, что $m_0=μN_A$, а $kN_A=R$, получаем отношение числа молекул
$n = \frac{\Delta N_{1}}{\Delta N_{2}} = 6 \cdot 10^{−3}$