$5.6.22^*.$ В откачанном пространстве вертикально стоит цилиндрический сосуд, перекрытый сверху подвижным поршнем массы $M$. Под поршнем находится одноатомный газ при температуре $T$ и давлении $P$. Внутреннее сечение цилиндра $S$, высота той части сосуда, внутри которой находится газ, $H$. Поршень отпустили. Он начал двигаться. Чему равна максимальная скорость, развиваемая поршнем, если газ сжимается изотермически? адиабатически?
a) Из закона сохранения энергии или теоремы о кинетической энергии и работе $$\frac{Mv^2}{2} = Mg(H-y) + A \;(1)$$ где $A$ - работа, совершенная над поршнем, равная работе, совершенной газом, которая в данном случае (изотермический процесс) определяется как $$A = nRT\ln{\frac{Sy}{SH}} = -nRT\ln{\frac{H}{y}} \;(2)$$ Подставляя $(2)$ в $(1)$ $$\frac{Mv^2}{2} = Mg(H-y) - nRT\ln{\frac{H}{y}} \;(3)$$ Из закона Бойля-Мариотта $$PSH = P'Sy \;(4)$$ Применение уравнения состояния к начальному состоянию, $$n = \frac{PSH}{RT} \;(5)$$ $$PSH = nRT$$ Применение второго закона Ньютона $$Mg - P(t)S = M\frac{dv}{dt}$$ В момент максимальной скорости $dv/dt = 0$ и $P(t) = P'$, следовательно $$Mg = P'S \;(6)$$ Подставляя $(6)$ в $(4)$ и выражая $y$ $$y = \frac{PSH}{Mg} \;(7)$$ Подставляя $(5)$ и $(7)$ в $(3)$ и выделяя $v$ $$\boxed{v = \sqrt{2gH\left(1-\frac{PS}{Mg}+\frac{PS}{Mg}\ln{\frac{PS}{Mg}}\right)}}$$ b) Из закона Пуассона $$P(SH)^\gamma = P'(Sy)^\gamma \;(8)$$ Работа, совершаемая газом при адиабатическом процессе, равна $$A = \frac{PSH-P'Sy}{\gamma-1} \;(9)$$ Согласно $(6)$, мы можем модифицировать $(8)$ и выразить $y$, получив $$y = H\left(\frac{PS}{Mg}\right)^\frac{1}{\gamma} \;(10)$$ Подставляем $(9)$ в $(1)$ и учитываем $(6)$,
BSc. Luis Daniel Fernández Quintana
Physics Department (FCNE)
Universidad de Oriente, Cuba