Условие:
6.1.11. Четыре положительных заряда $Q, q, Q, q$ связаны четырьмя нитями так, как показано на рисунке. Длина каждой нити $l$. Определите углы между нитями.
Решение:
Обозначим углы при Q за $\varphi$ (Угол при q - $\pi-\varphi$).Распишем проекции сил, действующих на Q, на ось, параллельную отрезку QQ:
$F_{QQ}+2F_{Qq} \cdot \cos{\varphi/2}-2T \cdot \cos{\varphi/2}=0$
$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q^2}{(2l\cos{\varphi/2})^2}+2\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qQ}{l^2} \cdot \cos{\varphi/2}$$-2T \cdot \cos{\varphi/2}=0$
$T=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{l^2}(\frac{Q^2}{(2\cos{\varphi/2})^3}+qQ)$
Аналогично с q и осью qq:
$F_{qq}+2F_{Qq} \cdot \cos{\frac{\pi-\varphi}{2}}-2T \cdot \cos{\frac{\pi-\varphi}{2}}=0$
$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{(2l\sin{\varphi/2})^2}+2\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qQ}{l^2} \cdot \sin{\varphi/2}$$-2\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{l^2}(\frac{Q^2}{(2\cos{\varphi/2})^3}+qQ) \cdot \sin{\varphi/2}=0$
$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{l^2}(\frac{q^2}{(2\sin{\varphi/2})^3}-\frac{Q^2}{(2\cos{\varphi/2})^3}+qQ-qQ)=0$
$\frac{q^2}{(\sin{\varphi/2})^3}-\frac{Q^2}{(\cos{\varphi/2})^3}=0$
$(\tan{\varphi/2})^3=\frac{q^2}{Q^2}$
$\varphi=2 \cdot \arctan{(\frac{q}{Q})^{2/3}}$