Условие:
$6.1.21.$ а. Металлическое кольцо разорвалось кулоновскими силами, когда
заряд кольца был равен $Q$. Сделали точно такое же новое кольцо, но из материала,
прочность которого в десять раз больше. Какой заряд разорвет новое кольцо?
б. Какой заряд разорвет новое кольцо, сделанное из прежнего материала,
если все размеры нового кольца в три раза больше размеров старого?
Решение:
Кольцо создаёт на своей границе напряжённость, эквивалентную напряжённости точечного заряда, т.е. $E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}$. Тогда сила, действующая на малый участок кольца зарядом $dq=\frac{d\alpha}{2\pi}Q$($d\alpha$ - величина дуги участка), равна:
$F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dqQ}{r^2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\frac{d\alpha}{2\pi}Q^2}{r^2}$ (пропорциональна $Q^2$ и $\frac{1}{r^2}$)
а. Увеличение прочности в 10 раз означает увеличение силы, необходимой для разрыва, в 10 раз. $F=10F_0 \Rightarrow Q^2=10Q_0^2 \Rightarrow Q=\sqrt{10}Q_0$
б. Прочность пропорциональна количеству атомарных связей связей в поперечном сечении кольца (площади поперечного сечения), т.е. квадрату линейных размеров. $r=3r_0 \Rightarrow F=3^2F_0=9F_0$
$r=3r_0, F=9F_0 \Rightarrow \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\frac{d\alpha}{2\pi}Q^2}{(3r_0)^2}=9\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\frac{d\alpha}{2\pi}Q_0^2}{r_0^2} \Rightarrow \frac{Q^2}{9r_0^2}=9\frac{Q_0^2}{r_0^2} \Rightarrow Q=9Q_0$