$6.3.11.$ Две бесконечные проводящие изолированные плиты заряжены так, что суммарная поверхностная плотность заряда обеих сторон первой плиты равна $σ_1,$ а второй $σ_2$. Плиты параллельны друг другу. Найдите поверхностную плотность заряда на каждой стороне плит.
Т.к. внутри проводника поля нет, то $$\sigma_1'+\sigma_1''=\sigma_1$$ $$\sigma_2'+\sigma_2''=\sigma_2$$ По теореме Гаусса: $$-\frac{\sigma_1'}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma_1''}{2\varepsilon_0}+\frac{\sigma_2'}{2\varepsilon_0}+\frac{\sigma_2''}{2\varepsilon_0}=0$$ $$\frac{\sigma_2'}{2\varepsilon_0} - \frac{\sigma_2''}{2\varepsilon_0}+\frac{\sigma_1'}{2\varepsilon_0}+\frac{\sigma_1''}{2\varepsilon_0}=0$$ Откуда получаем $$\sigma_1' - \sigma_1'' = \sigma_2$$ $$\sigma_2'' - \sigma_2' = \sigma_1$$ Откуда и получаем искомые значения: $$\left\{\begin{matrix} \sigma_1'=(\sigma_1+\sigma_2)/2\\ \sigma_1''=(\sigma_1-\sigma_2)/2\\ \sigma_2'=-(\sigma_1-\sigma_2)/2\\ \sigma_2''=(\sigma_1+\sigma_2)/2 \\ \end{matrix}\right.$$
$$\sigma_1'=(\sigma_1+\sigma_2)/2$$ $$\sigma_1''=(\sigma_1-\sigma_2)/2$$ $$\sigma_2'=-(\sigma_1-\sigma_2)/2$$ $$\sigma_2''=(\sigma_1+\sigma_2)/2$$