Условие:
\(8.4.7.\) Какой заряд протечет через гальванометр после замыкания ключа? Какое количество теплоты выделится на сопротивлении?
Решение:
До замыкания ключа простой расчет дает:
$\mathcal{E} = \frac{q_{1}}{C} + \frac{q_{1}}{C} = \frac{2q_{1}}{C}, \;(1)$
где $q_1$ — заряд каждого из конденсаторов.
После замыкания ключа с установлением равновесного распределения зарядов (прекращения тока в цепи) нижний конденсатор не заряжен, а заряд верхнего определяется из уравнения:
$\mathcal{E} = \frac{q_{2}}{C} \;(2)$
Чтобы определить заряд, прошедший через гальванометр, мысленно выделим часть схемы, обозначенную пунктиром. До замыкания ключа суммарный заряд этой части схемы равен нулю, после замыкания — заряду положительной обкладки верхнего конденсатора $q_2$. Таким образом, через гальзаиометр прошел заряд $q_{2} = \mathcal{E}C$.
Для вычисления выделившейся на сопротивлении теплоты воспользуемся законом сохранения энергии. До замыкания ключа энергия двух конденсаторов:
$W_{1} = 2 \cdot \frac{q_{1}^{2}}{2C} = \frac{ \mathcal{E}^{2}C}{4}$.
После замыкания ключа энергия схемы за исключением батареи равна:
$W_{2} = \frac{q_{2}^{2}}{2C} + Q = \frac{C \varepsilon ^{2}}{2} +Q, \;(4)$ где $Q$ — количество теплоты, выделившейся на сопротивлении.
Согласно закону сохранения энергии, изменение энергии $W_{2} - W_{1}$ равно работе сторонних сил батарей:
$W_{2} - W_{1} = A_{ст} = \mathcal{E} \Delta q \;(5)$
с учетом равенства нулю величины внутреннего сопротивления батареи.
Величина заряда $\Delta q$, прошедшего через батарею, равно изменению заряда на левой обкладке верхнего конденсатора:
$q_{2} - q_{1} = \Delta q = C \varepsilon - \frac{1}{2} C \varepsilon = \frac{1}{2} C \varepsilon \;(6)$ Подставляя $(3)$, $(4)$ и $(6)$ в $(5)$, находим: $Q = \frac{C \varepsilon ^{2}}{4}$