Условие:
\(9.1.11.\)
а) Проволочная рамка в виде окружности с током может вращаться вокруг горизонтальной оси $OO^\prime$. Масса единицы длины проволоки $\rho$, ток в рамке I. Рамка находится в магнитном поле индукции B, направленном вдоль поля тяжести. Определите угол отклонения плоскости окружности от вертикали.
б) Проволочная рамка в виде окружности имеет по диаметру проволочную перемычку, параллельную горизонтальной оси $OO^\prime$ , вокруг которой рамка может вращаться. Масса единицы длины рамки и перемычки одинакова и равна $\rho$. Ток, входящий в рамку, равен I. Рамка находится в магнитном поле индукции B, направленном параллельно полю тяжести. На какой угол от вертикали отклонится рамка?
Решение:
а) Используя $\vec{N} $$= [\vec{M} \times \vec{B}]$ получим $N $$= BIS\cdot cos(\alpha) $$= \pi BI R^2 \cdot cos(\alpha)$ момент силы тяжести: $M_{mg} $$= Rmg\cdot cos(\alpha) $$= 2\pi R^2\rho g\cdot sin(\alpha)$ эти моменты равны: $2\pi R^2\rho g \cdot sin(\alpha) $$= \pi BI R^2 \cdot cos(\alpha)$
тогда $tg(\alpha) $$= \frac{BI}{2\rho g}$
Ответ: \fbox{$tg(\alpha) $$= \frac{BI}{2\rho g}$}
б) Найдём момент силы тяжести: $M_{mg} $$= mgR\cdot sin(\alpha) = (2\pi R + 2R)\rho gR \cdot sin(\alpha) $$= 2R^2\rho g(1+\pi) \cdot sin(\alpha)$
Теперь изначальный контур представим как два наложенных контура с токами $I_1$ и $I_2$ такими что, $I_1 + I_2 $$= I$ , контур с $I_2$ - это полуокружность с перегородкой, контур с $I_1$ - это кольцо без перегородки. тогда из параллельного соединения следует что: $I_1\cdot \pi R = I_2 \cdot 2R$ тогда $I_1 $$= I_2\cdot \frac{2}{\pi}$;
$I = I_1 + I_2 $$= I_2(1+\frac{2}{\pi}) \Rightarrow I_2 = I\cdot \frac{\pi}{\pi+2}, I_1 $$= I\cdot \frac{2}{\pi+2}$
Тогда моменты для этих контуров: $M_{k2} = BS_2\cdot cos(\alpha) $$= \frac{1}{2}\pi R^2I\cdot \frac{\pi}{\pi+2}B\cdot cos(\alpha)$
$M_{k1} $$= BS_1\cdot cos(\alpha) $$=\pi R^2I\cdot \frac{2}{\pi+2}B\cdot cos(\alpha)$
Суммарный момент контуров: $M_k = \frac{1}{2}\pi R^2 BI \cdot cos(\alpha) \cdot \frac{\pi + 4}{\pi +2}$
Приравняем этот момент и момент силы тяжести:
$\frac{1}{2}\pi R^2 BI \cdot cos(\alpha) \cdot \frac{\pi + 4}{\pi +2} $$= 2R^2\rho g(1+\pi) \cdot sin(\alpha)$ отсюда
$tg(\alpha) $$= \frac{\pi(\pi+4)}{4(\pi+2)(\pi+1)} \cdot \frac{BI}{\rho g}$