Условие:
\(9.1.7.\) В однородном магнитном поле поместили прямоугольную рамку с током. Индукция магнитного поля B параллельна плоскости рамки. Площадь рамки \(S\), ток в ней \(I\). а. Докажите, что момент сил, действующий на рамку, \(N = BM\), где \(M = IS\) — магнитный момент рамки.
б). Докажите, что момент сил, действующий на рамку в случае, когда индукция магнитного поля направлена так, как изображено на рисунке, равен \(\vec{N} =[\vec{M} \times \vec{B} ]\) где \(M\) — магнитный момент рамки, модуль которого равен \(IS\), а направление перпендикулярно плоскости рамки.
Доказательство:
а)Момент будут создавать линии рамки перпендикулярные \(B\) . Пусть рамка имеет размеры \(a\) на \(b\) (для определённости, будем считать \(b \bot B\) ) , тогда момент будет: \(N = 2\cdot |\overrightarrow{Ib} \times B|\cdot \frac{a}{2} \)\(\Rightarrow N = a|\overrightarrow{Ib} \times B| \)\(= Ib \cdot B \cdot a\) так \(S = ab\) то: \(N = IBS\)
б) \(B_{\bot}\) будет создавать силу на сжатии или растяжение рамки, поэтому момент \(N\) от \(B_{\bot}\) будет равно \(0\), значит момент создает только \(B_{\|}\) , тогда \(N = B_{\|}IS = BISsin(\alpha)=|\overrightarrow{IS} \times \overrightarrow{B}|\)
так как \(\overrightarrow{N} = \overrightarrow{F} \times \overrightarrow{r}\) то будет справедливо что \(\overrightarrow{N} = \overrightarrow{IS} \times \overrightarrow{B}\) так как направление момента перпендикулярно силе и плечу силы
\(\overrightarrow{N} = \overrightarrow{M} \times \overrightarrow{B}\)