Условие:
\(9.2.10.\)
По кольцу радиуса $R$ течет ток $I$. Определите индукцию магнитного поля в центре кольца и на его оси на расстоянии $h$ от центра кольца.
Решение:
Очевидно, что поле $B$ будет направлено перпендикулярно плоскости кольца. Рассмотрим участок кольца длиной $Rd\theta$ для него будет справедлива формула из 9.2.8 тогда
$dB = \frac{\mu_0 I Rd\theta}{4\pi (R^2 + h^2)}$ но так как поле будет направлено вдоль оси, то там нужна его проекция на эту ось $dB\cdot cos(\alpha) $$= \frac{\mu_0 I Rd\theta}{4\pi (R^2 + h^2)} \cdot \frac{R}{\sqrt{R^2 + h^2}} $$= \frac{\mu_0 I R^2d\theta}{4\pi (R^2 + h^2)^{3/2}}$
При интегрировании $dB\cdot cos(\alpha)$ от $0$ до $2\pi$ получим:
$B(h) = \frac{\mu_0 I R^2}{2 (R^2 + h^2)^{3/2}}$
подставив $h = 0$ получим известную вам формулу для индуктивности в центре кольца:
$B(0) = \frac{\mu_0 I}{2R}$