Условие:
\(9.2.12.\)
Провод, лежащий в одной плоскости, состоит из двух длинных прямых параллельных участков, связанных полуокружностью. По проводу течет ток $I$. Определите индукцию магнитного поля в центре полуокружности.
Решение:
Магнитное полк в искомой точке будет перпендикулярно плоскости провода, а значит для нахождения индукции надо найти индукцию полубесконечого $B_1$ провода и полуокружности $B_2$
$B_1 = \int\limits_{0}^{\infty}\varepsilon_0 \mu_0 [\frac{\vec{(dx\lambda)}}{4\pi \varepsilon_0 (x^2 + R^2)} \times \vec{v} ]$$= \int\limits_{0}^{\infty}\frac{Idx\mu_0}{4\pi (x^2+ R^2)}\cdot sin(\alpha) $$= \{sin(\alpha) $$= \frac{R}{\sqrt{x^2 + R^2}}\} \Rightarrow$
$\Rightarrow B_1 = \int\limits_0^\infty \frac{\mu_0 I dxR}{4\pi {(x^2 + R^2)}^{3/2}} $$= \frac{\mu_0 IR}{4\pi}\int\limits_0^\infty \frac{dx}{(x^2+R^2)^{3/2}} $$= \frac{\mu_0 I}{4\pi R}\int\limits_0^\infty \frac{du}{(u^2+1)^{3/2}}$ к этому интегралу вернёмся чуть позже, а пока обозначим его значение как $(1)$
Теперь посчитаем значение $B_2$
$B_2 = \int\limits_0^\pi \frac{\mu_0 IRd\alpha}{4\pi R^2} $$= \frac{\mu_0 I}{4\pi R}\int\limits_0^\pi d\alpha $$= \frac{\mu_0 I}{4R}$
Тогда $B = 2B_1 + B_2$
$\int\limits_0^\infty \frac{du}{(u^2+1)^{3/2}} = \{u = tg(a), du = \frac{da}{cos^2(a)}\} $$= \int\limits_0^\frac{\pi}{2} \frac{da}{cos^2(a) \cdot (tg^2(a)+1)^{3/2}} $$= \int\limits_0^\frac{\pi}{2} cos(a)da = 1$
Так как значение $(1)$ равно 1, то $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4\pi R}$ , тогда $B = \frac{\mu_0 I}{4R}(1+\frac{2}{\pi}) $$=\frac{\mu_0 I}{4\pi R}(\pi + 2) $