Условие:
\(9.2.14^*.\) Прямой провод имеет виток радиуса $R$. По проводу течет ток $I$. Определите индукцию магнитного поля в центре витка и на его оси на расстоянии $h$ от его центра.
Решение:
Разобьём систему на отдельно провод и кольцо с током с соответствующими им полями $B_1 $ и $B_2$
Из школьного курса известно, что поле бесконечного провода $B_1 = \frac{\mu_0I}{2\pi l} = \frac{\mu_0 I}{2\sqrt{R^2 + h^2}}$
Поле кольца мы находили в задаче 9.2.10: $B_2 = \frac{\mu_0 I R^2}{2 (R^2 + h^2)^{3/2}}$
Стоит отметить что $\vec{B_1}$ и $\vec{B_2}$ имеют разное направление, вектор $\vec{B_1}$ перпендикулярен плоскости точки и провода, а вектор $\vec{B_2}$ направлен вдоль оси. Несложно показать, что косинус угла между этими векторами $\cos(\gamma) = \frac{R}{\sqrt{R^2+h^2}}$ тогда
$|\vec B| = |\vec B_1 + \vec B_2| $$= \sqrt{{B_1}^2+{B_2}^2+2B_1B_2\cos(\gamma)} $$= \frac{\mu_0I}{2}$$[\frac{1}{\pi^2(R^2+h^2)} + \frac{R^4}{(R^2+h^2)^3} + $$\frac{2R^3}{\pi(R^2+h^2)^{5/2}}]^{1/2}$
$B(0) = \frac{\mu_0I}{2R}$$[\frac{1}{\pi^2} + 1 + \frac{2}{\pi}]^{1/2} = \frac{\mu_0I}{2R}(\frac{1}{\pi} + 1) $$= \frac{\mu_0I}{2\pi R}(1 + \pi)$