Условие:
\(9.2.16.\) Определите индукцию магнитного поля на оси контура, магнитный момент которого $M$, на больших расстояниях $h$ в случаях, когда контур представляет собой окружность, квадрат, правильный треугольник.
Решение:
Для круга магнитный момент $M = \pi IR^2$
Магнитное поле на оси кольца (см 9.2.10) $B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2+h^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 M}{2\pi(R^2 + h^2)^{3/2}} \approx \frac{\mu_0 M}{2\pi h^3}$
Для больших расстояний форма контура, очевидно, не важна, тогда
$B = \frac{\mu_0 M}{2\pi h^3}$
Для неверующих докажем это, пусть у нас есть правильный $n$ угольник, описанный около окружность радиуса $r$, сторона многоугольника $a$, его магнитный момент $M = \frac{1}{2}narI$
Найдём проекцию индукции стороны на ось:
$B_i = \int dB = \int\limits_0^a\frac{\mu_0 I dx}{4\pi (h^2+r^2)} \cdot \frac{r}{\sqrt{h^2+r^2}}$ в приближение $r\ll h$ получим
$B_i = \frac{\mu_0 Ir}{4\pi}\int\limits_0^a \frac{dx}{(h^2 + r^2)^{3/2}} \approx \frac{\mu_0 Ir}{4\pi}\int\limits_0^a \frac{dx}{h^3} = \frac{\mu_0 Ira}{4\pi h^3} $
Просуммируем $B_i$, получим: $B = \frac{\mu_0 Iran}{4\pi h^3} = \frac{\mu_0 2M}{4\pi h^3} = \frac{\mu_0 M}{2\pi h^3}$ А вы не верили